Maîtriser la Trigonométrie 3ème : Guide détaillé pour le Brevet des Collèges !

L'épreuve de mathématiques approche, et le chapitre de la trigonométrie 3ème constitue un pilier essentiel pour la réussite au Brevet des Collèges. Ce guide approfondi, inspiré des méthodes de cours les plus efficaces, va vous permettre de transformer cette notion souvent perçue comme abstraite en un outil de calcul précis et maîtrisé.

Les fondamentaux de la Trigonométrie 3ème : Le triangle rectangle

La trigonométrie étudiée en 3ème s'applique rigoureusement et uniquement aux triangles rectangles. Avant de manipuler les formules, la première étape cruciale consiste à identifier correctement les côtés du triangle par rapport à l'angle aigu (α) considéré.

Le vocabulaire essentiel pour la Trigonométrie 3ème

Dans un triangle ABC rectangle en A, les trois côtés reçoivent des appellations spécifiques3:

• L'Hypoténuse (H) : C'est le côté opposé à l'angle droit. Dans l'exemple du triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est toujours le côté [BC]. Elle est toujours la plus longue des trois longueurs.
• Le Côté Opposé (O) : C'est le côté qui est face à l'angle aigu que l'on observe. Pour l'angle , le côté opposé est [AB].
• Le Côté Adjacent (A) : C'est le côté qui forme l'angle aigu avec l'hypoténuse. Pour l'angle le côté adjacent est [AC].

Rappel : Les appellations de "côté opposé" et "côté adjacent" changent si vous considérez l'autre angle aigu du triangle.

Les trois rapports de Trigonométrie 3ème : Cosinus, Sinus et Tangente

La trigonométrie 3ème repose sur trois rapports de longueurs qui ne dépendent que de la mesure de l'angle aigu concerné.

Si vous ne connaissez pas déjà, je célèbre moyen mnémotechnique est le suivant "CAH SOH TOA" (à lire et à mémoriser phonétiquement).

1. Le Cosinus (CAH - Adjacent sur Hypoténuse)

Le cosinus d'un angle aigu α est un rapport de longueurs défini comme suit:

• Propriété : Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1 (0 ≤ cos (α) ≤ 1) Il s'agit d'un rapport sans unité.
• Exemple (Triangle ABC rectangle en A, avec AC = 8cm, AB = 6cm, BC = 10cm) :
  

2. Le Sinus (SOH - Opposé sur Hypoténuse)

Le sinus d'un angle aigu α est le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle sur la longueur de l'hypoténuse:

• Propriété : Similaire au cosinus, le sinus d'un angle aigu est également compris entre 0 et 1 (0 ≤ sin (α) ≤ 1) et n'a pas d'unité.
• Exemple (Triangle ABC rectangle en A) :

3. La Tangente (TOA - Opposé sur Adjacent)

La tangente d'un angle aigu α est le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle sur la longueur du côté adjacent à ce même angle:

• Propriété : Contrairement au sinus et au cosinus, la tangente d'un angle aigu est toujours supérieure à 0, mais elle n'est pas nécessairement inférieure à 1. Elle est sans unité.
• Exemple (Triangle ABC rectangle en A) :
  

Appliquer la Trigonométrie 3ème pour le Brevet

Les formules trigonométriques permettent de déterminer des longueurs de côtés ou des mesures d'angles aigus dans un triangle rectangle, à partir d'autres informations connues.

Calculer une longueur de côté

Pour calculer une longueur, on utilise la formule appropriée en fonction de la longueur connue et de celle que l'on cherche.

Exemple 1 : Calculer une longueur avec le cosinus (MN)

Considérons un triangle MNP rectangle en M, où NP = 10 cm (Hypoténuse) et = 30°. On cherche la longueur MN (Côté Adjacent à ).

1. Choix de la formule : On connaît l'Hypoténuse (H) et on cherche l'Adjacent (A). On utilise donc le Cosinus (CAH)30303030.
2. Calcul :
   

Exemple 2 : Calculer une longueur avec le sinus (MP)

Dans le même triangle MNP rectangle en M, = 30° et NP = 10 cm. On cherche la longueur MP (Côté Opposé à ).

1. Choix de la formule : On connaît l'Hypoténuse (H) et on cherche l'Opposé (O). On utilise donc le Sinus (SOH).
2. Calcul :
   

Calculer une mesure d'angle aigu

Pour calculer un angle, vous devez connaître les longueurs de deux côtés du triangle40. Vous utiliserez alors la fonction réciproque (cos^-1, sin^-1, tan^-1) de votre calculatrice.

Exemple 3 : Calculer un angle avec le sinus

Soit un triangle rectangle dont le côté opposé à l'angle cherché est 5 cm et l'hypoténuse 10 cm. On utilise le sinus (SOH).

1. Calcul :
   
2. Angle : Pour trouver l'angle, on utilise la fonction réciproque :
   

Attention au piège : Assurez-vous que votre calculatrice est bien réglée en degrés ("DEG").

Exercices d'application de Trigonométrie 3ème et corrections détaillées 

Ces exercices vous permettront de mettre en pratique la méthodologie de la trigonométrie 3ème : choisir le bon rapport (SOH CAH TOA) et manipuler la formule.

Exercice 1 : Calcul de longueur (cosinus)

Énoncé :

Le triangle MNP est rectangle en M. L'hypoténuse NP mesure 10 cm}, et l'angle mesure 30°. Calculez la longueur du côté MN (on donnera une valeur approchée au centième).

Correction :

1. Identification : On travaille dans le triangle MNP rectangle en M.
   • Nous connaissons l'Hypoténuse (NP = 10cm).
   • Nous cherchons le Côté Adjacent à l'angle (MN).
   • Le rapport à utiliser est le Cosinus :
2. Formule et Calcul :
   

Exercice 2 : Calcul de longueur (sinus)

Énoncé :

Dans le même triangle MNP rectangle en M, l'hypoténuse NP mesure 10 cm et l'angle mesure 30°. Calculez la longueur du côté MP.

Correction :

1. Identification : On travaille dans le triangle MNP rectangle en M.
   • Nous connaissons l'Hypoténuse (NP = 10 cm).
   • Nous cherchons le Côté Opposé à l'angle (MP).
   • Le rapport à utiliser est le Sinus :
2. Formule et Calcul :
   

Exercice 3 : Calcul de Longueur (tangente)

Énoncé :

Le triangle MNP est rectangle en M. L'angle mesure 30°et le côté MP mesure 8 cm. Calculez la longueur du côté MN (on donnera une valeur approchée au centième).

Correction :

1. Identification : On travaille dans le triangle MNP rectangle en M.
   • Nous connaissons le Côté Opposé à l'angle (MP = 8 cm).
   • Nous cherchons le Côté Adjacent à l'angle (MN).
   • Le rapport à utiliser est la Tangente :
2. Formule et Calcul :
   

Exercice 4 : Calcul de mesure d'angle (sinus)

Énoncé :

Soit un triangle rectangle en R, TRI. Le côté opposé à l'angle , TR mesure 5 cm, et l'hypoténuse TI mesure 10 cm. Déterminez la mesure de l'angle .

Correction :

1. Identification : On travaille dans le triangle TRI rectangle en R.
   • Nous connaissons la longueur du Côté Opposé à (TR = 5 cm).
   • Nous connaissons l'Hypoténuse (TI = 10 cm).
   • Le rapport à utiliser est le Sinus :
2. Formule et Calcul :
   
3. Fonction Réciproque :
   Pour trouver la mesure de l'angle, on utilise la fonction réciproque de la calculatrice ( sin^-1 ou arcsin).
   

Étude d'un exercice type Brevet (Trigonométrie 3ème)

Énoncé de l'exercice

Soit le triangle ABC rectangle en A. On donne les mesures suivantes : AC = 5 cm et BC =  cm.

1. Question 1 : Calculer la mesure de l'angle . Donner le résultat arrondi au degré près.
2. Question 2 : Calculer la longueur AB. Donner le résultat arrondi au dixième de centimètre.

Correction détaillée et méthode (Trigonométrie 3ème)

1. Calcul de la mesure de l'angle

La question demande de trouver un angle à partir de deux longueurs connues. On utilise donc une fonction trigonométrique et sa réciproque.

• Triangle et Angle : On se place dans le triangle ABC rectangle en A. On cherche l'angle .
• Identification des Côtés (par rapport à ) :
  • AC = 5 cm est le Côté Opposé (O).
  • BC = 9 cm est l'Hypoténuse (H).
• Choix de la Formule (SOH CAH TOA) :
  • Le rapport Opposé/Hypoténuse correspond au Sinus (SOH).

1. Formule Littérale :
   
2. Remplacement des Valeurs :
   
3. Calcul de l'Angle : On utilise la fonction réciproque $\sin^{-1}$ (ou $\text{arcsin}$) sur la calculatrice.
   
4. Réponse Arrondie :
   

2. Calcul de la longueur AB

Deux méthodes sont possibles ici : utiliser la trigonométrie ou le Pythagore. Pour rester centré sur la trigonométrie 3ème, utilisons une fonction trigonométrique.

• Triangle et Angle : On utilise le triangle ABC rectangle en A. Nous avons maintenant l'angle (il est préférable de garder la valeur non arrondie dans la calculatrice pour plus de précision).
• Identification des Côtés (par rapport à ) :
  • BC = 9 cm est l'Hypoténuse (H).
  • AB est le Côté Adjacent (A) (la longueur recherchée).
• Choix de la Formule (SOH CAH TOA) :
  • Le rapport Adjacent/Hypoténuse correspond au Cosinus (CAH).

1. Formule Littérale :
   
2. Remplacement des Valeurs :
   
3. Calcul de la Longueur ($AB$) : On utilise le produit en croix.
   
4. Réponse Arrondie : L'arrondi au dixième donne :
   

Alternative pour le calcul de AB (Théorème de Pythagore)

Puisque nous connaissons deux côtés (AC = 5 et BC = 9) dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore est la méthode la plus rapide et la plus précise :

Comme vous pouvez le voir, dans les exercices du Brevet, il est souvent possible de vérifier vos résultats en utilisant une autre méthode (Pythagore vs. Trigonométrie).

Le soutien scolaire à domicile : L'aide significative pour maîtriser la Trigonométrie 3ème

La réussite en trigonométrie 3ème repose sur une méthode de travail rigoureuse : identification des côtés, choix de la bonne formule, et bonne manipulation de la calculatrice. Si un seul de ces points n'est pas maîtrisé, l'exercice est compromis.

Le soutien scolaire à domicile offre un avantage déterminant pour consolider ces acquis. Un professeur particulier peut vous aider à :

• Clarifier l'identification : Travailler avec des schémas personnalisés pour s'assurer que vous nommez correctement l'Opposé, l'Adjacent et l'Hypoténuse par rapport à l'angle choisi47.
• Automatiser les formules : Utiliser des exercices ciblés pour que vous choisissiez instantanément la formule (SOH CAH TOA) qui convient à la situation (calcul d'angle ou de longueur)48484848.
• Valider la rédaction Brevet : La clarté de la démarche (énoncé du triangle rectangle, formule littérale, remplacement par les valeurs, et résultat arrondi) est cruciale pour les examinateurs.

En bénéficiant d'un accompagnement individuel, vous transformez les difficultés de la trigonométrie 3ème en une force pour le Brevet, assurant ainsi une progression significative et durable.

Chez Didasko, nous sommes spécialistes du soutien scolaire à Toulouse et sur sa région. Déclaré Service à la Personne, nous faisons bénéficier à nos clients du service d'Avance Immédiate.

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