Résoudre une équation du premier ou du second degré

Comment résoudre une équation ? Les équations sont le cœur des mathématiques et leur maîtrise est essentielle, que vous soyez au collège, au lycée, ou en reprise d'études. Souvent perçues comme un défi, elles sont en réalité la clé pour modéliser et résoudre une infinité de problèmes concrets.

Découvrez les secrets de l'inconnue x et les méthodes infaillibles pour résoudre une équation du premier et du second degré.

Résoudre une équation : L'inconnue x au cœur du problème

Avant de plonger dans les techniques de résolution, il est crucial de comprendre l'élément central de toute équation : la variable ou l'inconnue x.

Comment identifier l'inconnue x dans un problème ?

Dans un problème, la variable x représente la quantité que l'on cherche à déterminer. Elle est généralement introduite par une question ou une phrase qui indique ce qui est inconnu.

Exemples de phrases clés :

• "Quel est ce nombre ?" → Le nombre est x.
• "Quelle est la longueur du côté ?" → La longueur est x.
• "Quel est l'âge actuel de la personne ?" → L'âge est x.

De l'énoncé à l'équation

Une fois l'inconnue x identifiée, l'étape suivante consiste à traduire l'énoncé du problème en une égalité mathématique (une équation). Chaque information de l'énoncé correspond à une opération qui mène à cette égalité.

Exercice Pratique : Identification et Modélisation

Énoncé : "La somme du triple d'un certain nombre et de 7 est égale à 22."

1. Identifier l'inconnue x : Quel est ce nombre ?
2. Traduire l'énoncé en équation :
   • Le triple d'un certain nombre : 3x
   • La somme du triple d'un certain nombre et de 7 : 3x + 7
   • ... est égale à 22 : 3x + 7 = 22

Correction : L'équation à résoudre est 3x + 7 = 22.

Résoudre une équation du premier degré (forme ax + b = c)

Une équation du premier degré est une équation où l'exposant maximum de l'inconnue x est 1 (pour rappel x¹ = x). Sa forme générale est ax + b = c (où a ne peut pas être nul).

La méthode de résolution d'une équation : L'art de l'équilibre

La résolution consiste à isoler x sur un côté de l'égalité en appliquant les mêmes opérations aux deux membres de l'équation. C'est le principe de la balance : pour maintenir l'équilibre, toute action d'un côté doit être compensée de l'autre.

1. Isoler le terme en x : Transférer les constantes (les nombres) de l'autre côté de l'égalité en changeant leur signe (c'est-à-dire en soustrayant b aux deux membres).
2. Trouver x : Diviser les deux membres par le coefficient devant x (ici, a).

Exemple de résolution : 3x + 7 = 22

1. Isoler 3x : 3x = 22 − 7
   3x = 15
2. Trouver x : x = 15​ / 3
   x = 5

La solution est x = 5.

Exercice pratique : résoudre une équation du premier degré

Énoncé : Résolvez l'équation 5 (x − 2) + 1 = 3x − 1.

Correction :

1. Développer et simplifier : 5x − 10 + 1 = 3x − 1    →     5x − 9 = 3x − 1
2. Regrouper les termes en x : 5x − 3x = −1 + 9
3. Simplifier : 2x = 8
4. Isoler x : x = 8 / 2​
   x = 4

La solution est x = 4.

Les équations du second degré (forme ax² + bx + c = 0)

Une équation du second degré (ou quadratique) est une équation où l'inconnue est élevée à la puissance 2. Sa forme générale est ax² + bx + c = 0 (où a ne peut pas être nul).

Pour résoudre une équation de ce type, deux méthodes principales existent.

1. La méthode par factorisation (produit nul)

Si l'équation peut être factorisée (souvent le cas si c = 0, ou si elle correspond à une identité remarquable), on utilise la propriété du produit nul : si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0.

Exemple : Résoudre x² − 4x = 0

1. 1. Factoriser : x (x − 4) = 0
   2. Appliquer le produit nul :

• • x = 0

1. • ou x − 4 = 0 → x = 4

Les solutions sont x₁ = 0 et x₂​ = 4.

2. La méthode par le discriminant (Δ)

C'est la méthode universelle pour toute équation du second degré. Elle passe par le calcul du discriminant, noté Δ(Delta).

Formule du discriminant :

Δ = b² − 4ac

Les solutions dépendent du signe de Δ :

Exercice pratique : résoudre une équation du second degré

Énoncé : Résolvez l'équation x² − 5x + 6 = 0.

Correction :

1. 1. Identifier les coefficients : a = 1, b = −5, c = 6.
   2. Calculer le discriminant Δ :
      Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
   3. Conclure et calculer les solutions : Δ > 0, il y a deux solutions.

• x₁ ​= (− (−5) − √1) / ( 2(1) )​​ = (5 − 1​) / 2 = 4 / 2 ​= 2

• x₂ = (− (−5) + √1) / ( 2(1) )​​ = (5 + 1​) / 2 = 6 / 2 ​= 3

Les solutions sont x₁ = 2 et x₂​ = 3.

Pour aller plus loin, vous pouvez apprendre à étudier des fonctions avec leurs tableaux de variations.

L'accompagnement, l'atout pour maîtriser la résolution d'équations

Si la théorie est claire, l'application peut parfois être source de blocages. Les mathématiques nécessitent une pratique régulière et un feedback immédiat, en particulier pour bien résoudre une équation.

C'est pourquoi le soutien scolaire à domicile est un levier de progression exceptionnel :

• Pédagogie Personnalisée : Un professeur particulier adapte sa méthode spécifiquement à vos lacunes (difficulté à identifier x, erreur de calcul des signes, confusion des formules, etc.).
• Compréhension approfondie : L'enseignant prend le temps d'expliquer les concepts fondamentaux (le pourquoi des règles), assurant une compréhension solide et durable, et pas seulement une mémorisation.
• Confiance renforcée : En travaillant sur des exercices ciblés, l'élève débloque ses difficultés et regagne l'assurance nécessaire pour affronter les problèmes les plus complexes.

Que ce soit pour exceller, rattraper un retard ou simplement bénéficier d'une aide méthodologique, un accompagnement sur mesure est le meilleur investissement pour progresser en mathématiques.

Chez Didasko, nous sommes spécialistes du soutien scolaire à Toulouse et sur sa région. Déclaré Service à la Personne, nous faisons bénéficier à nos clients du service d'Avance Immédiate.

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