Dans un monde où les données sont omniprésentes, la capacité à les comprendre et à les interpréter devient une compétence essentielle. Que ce soit pour analyser les résultats d'un sondage, évaluer la performance d'une entreprise ou même comprendre des tendances sociales, les statistiques nous offrent les outils nécessaires pour donner du sens à l'information brute. Cet article explore les concepts fondamentaux des statistiques descriptives (enseignés dès la classe de 3ème en Mathématiques), en mettant un accent particulier sur la différence moyenne médiane, deux mesures clés souvent confondues mais complémentaires. En maîtrisant ces bases, vous serez mieux armés pour lire le monde qui vous entoure avec un œil critique et prendre des décisions plus éclairées.
Avant de nous plonger dans les calculs, il est crucial de comprendre les briques élémentaires de toute analyse statistique : les valeurs et les effectifs.
Une valeur représente une modalité ou une observation prise par une variable statistique. C'est l'information concrète que l'on recueille. Par exemple, si nous étudions la taille d'un groupe d'individus, chaque taille mesurée (par exemple, 170 cm, 185 cm) est une valeur.
Exemple :
Un enseignant a relevé les notes sur 20 de ses 10 élèves à un contrôle : 12, 15, 8, 12, 18, 10, 15, 12, 9, 14. Les valeurs sont les différentes notes obtenues : 12, 15, 8, 18, 10, 9, 14. Nous pouvons obtenir plusieurs fois la même valeur. C'est le cas de 15, une valeur que nous retrouvons deux fois.
Exercice 1 :
Dans une enquête sur les couleurs préférées, on a obtenu les réponses suivantes : Rouge, Bleu, Vert, Rouge, Jaune, Bleu, Rouge. Quelles sont les valeurs dans cette série statistique ?
Solution Exercice 1 :
Les valeurs sont les couleurs : Rouge, Bleu, Vert, Jaune.
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans une série statistique.
L'effectif total est le nombre total d'observations ou d'individus dans la série statistique. C'est la somme de tous les effectifs.
L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs de cette valeur et de toutes les valeurs qui lui sont inférieures ou égales, une fois la série ordonnée. Il permet de connaître le nombre d'observations jusqu'à une certaine valeur.
Exemple avec les notes des élèves : 12, 15, 8, 12, 18, 10, 15, 12, 9, 14.
| Note (Valeur) | Effectif | Effectif Cumulé Croissant |
| 8 | 1 | 1 |
| 9 | 1 | 2 |
| 10 | 1 | 3 |
| 12 | 3 | 6 |
| 14 | 1 | 7 |
| 15 | 2 | 9 |
| 18 | 1 | 10 |
| Total | 10 |
Exercice 2 :
Un sondage a été réalisé auprès de 20 personnes sur le nombre de livres lus par mois. Voici les résultats : 2, 3, 1, 0, 4, 2, 3, 1, 2, 0, 5, 2, 3, 1, 4, 2, 3, 0, 1, 2.
Solution Exercice 2 :
| Nombre de livres (Valeur) | Effectif | Effectif Cumulé Croissant |
| 0 | 3 | 3 |
| 1 | 4 | 7 |
| 2 | 6 | 13 |
| 3 | 4 | 17 |
| 4 | 2 | 19 |
| 5 | 1 | 20 |
| Total | 20 |
Ces indicateurs nous donnent une idée de la "valeur typique" ou du centre d'une série de données.
La moyenne arithmétique (souvent simplement appelée "moyenne") est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs (effectif total). C'est l'indicateur le plus couramment utilisé et représente le point d'équilibre de la série.
Formule : moyenne = ∑xi / N
Où ∑xi est la somme de toutes les valeurs et N est l'effectif total.
Exemple avec les notes des élèves : 8, 9, 10, 12, 12, 12, 14, 15, 15, 18.
Somme des notes : 8 + 9 + 10 + 12 + 12 + 12 + 14 + 15 + 15 + 18 = 125
Effectif total : 10
Moyenne : 125 / 10 =12.5
Moyenne pondérée :
Lorsque certaines valeurs ont plus de "poids" que d'autres (par exemple, des coefficients pour des matières scolaires ou des effectifs pour des valeurs dans un tableau), on utilise une moyenne pondérée. Chaque valeur est multipliée par son poids (ou son effectif), ces produits sont additionnés, et le tout est divisé par la somme des poids (ou l'effectif total).
Formule : moyenne pondérée = ∑(xi × pi) / ∑pi
Où xi est la valeur, pi est son poids (ou son effectif).
Exemple de moyenne pondérée (avec les notes et leurs effectifs) : Reprenons le tableau des notes des élèves :
| Note (Valeur xi) | Effectif (pi) | xi × pi |
| 8 | 1 | 8 |
| 9 | 1 | 9 |
| 10 | 1 | 10 |
| 12 | 3 | 36 |
| 14 | 1 | 14 |
| 15 | 2 | 30 |
| 18 | 1 | 18 |
| Total | 10 | 125 |
Moyenne pondérée : 125 / 10 = 12.5. On retrouve bien la même moyenne.
Exercice 3 :
Calculer la moyenne et la moyenne pondérée des données suivantes :
Un commerçant a vendu des articles à différents prix : 5 articles à 10€, 3 articles à 15€, 2 articles à 20€.
Solution Exercice 3 :
10, 10, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 20, 20
Somme des prix : 5 × 10 + 3 × 15 + 2 × 20 = 50 + 45 + 40 = 135
Nombre total d'articles : 5 + 3 + 2 = 10
Moyenne : 135 / 10 = 13.5€
((10 × 5) + (15 × 3) + (20 × 2)) / (5 + 3 + 2) = (50 + 45 + 40) / 10 = 135 / 10 =13.5€
La médiane est la valeur qui partage la série statistique ordonnée en deux parties égales : 50% des observations sont inférieures ou égales à la médiane, et 50% sont supérieures ou égales. Elle est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.
Comment la trouver ?
Exemple avec les notes des élèves (N = 10, pair) : 8, 9, 10, 12, 12, 12, 14, 15, 15, 18.
Positions centrales : 10 / 2 = 5ème et 10 / 2 +1 = 6ème.
Les valeurs à ces positions sont 12 et 12.
Médiane = (12 + 12) / 2 = 12.
Exemple avec un effectif impair (N = 7) : 10, 12, 15, 16, 18, 20, 25.
Position centrale : (7 + 1) / 2 = 4ème.
La 4ème valeur est 16.
Médiane = 16.
Exercice 4 :
Trouver la médiane des séries suivantes :
a) Âges d'un groupe d'amis : 18, 22, 20, 19, 21.
b) Nombre d'heures de sommeil par nuit sur une semaine : 7, 8, 6, 9, 7, 8, 5.
Solution Exercice 4 :
a) Série ordonnée : 18, 19, 20, 21, 22. (N=5, impair)
Position centrale : (5 + 1) / 2 = 3ème.
La 3ème valeur est 20.
Médiane = 20.
b) Série ordonnée : 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9. (N=7, impair)
Position centrale : (7 + 1) / 2 =4ème.
La 4ème valeur est 7.
Médiane = 7.
La différence moyenne médiane est un concept fondamental en statistique qui révèle beaucoup sur la distribution d'une série de données. Bien que toutes deux soient des mesures de tendance centrale, elles ne racontent pas toujours la même histoire.
La principale différence moyenne médiane réside dans leur sensibilité aux valeurs extrêmes, appelées "valeurs aberrantes" ou "outliers".
Exemple pour illustrer la différence moyenne médiane : Considérons les salaires (en €) de 5 personnes dans une petite entreprise :
Série A : 1500, 1600, 1700, 1800, 2000 (Série assez symétrique)
Dans ce cas, la moyenne et la médiane sont très proches.
Série B : 1500, 1600, 1700, 1800, 10000 (Un salaire très élevé, un "outlier")
Ici, la moyenne (3320€) est beaucoup plus élevée que la médiane (1700€) à cause du salaire de 10000€. La médiane est une meilleure représentation du salaire "typique" de la majorité des employés, tandis que la moyenne est fortement influencée par le salaire exceptionnel.
Exercice 5 : Pour les séries suivantes, calculer la moyenne et la médiane, puis expliquer quelle mesure vous semble la plus pertinente pour représenter le "centre" et pourquoi.
a) Prix de 7 maisons dans un quartier (en milliers d'euros) : 200, 220, 210, 230, 250, 240, 900.
b) Nombre de points marqués par un joueur de basket sur 10 matchs : 15, 18, 12, 20, 14, 16, 17, 19, 13, 16.
Solution Exercice 5 :
a) Série ordonnée : 200, 210, 220, 230, 240, 250, 900. (N = 7)
b) Série ordonnée : 12, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20. (N = 10)
L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d'une série statistique. Elle donne une idée rapide de l'ampleur des données ou de leur dispersion.
Formule : Étendue = Valeur Maximale - Valeur Minimale
Exemple avec les notes des élèves : 8, 9, 10, 12, 12, 12, 14, 15, 15, 18.
Valeur Maximale : 18
Valeur Minimale : 8
Étendue = 18 − 8 = 10.
Exercice 6 : Calculer l'étendue de la série des âges d'un groupe d'amis : 18, 22, 20, 19, 21.
Solution Exercice 6 :
Série ordonnée : 18, 19, 20, 21, 22.
Valeur Maximale : 22
Valeur Minimale : 18
Étendue = 22 − 18 = 4.
La fréquence d'une valeur est la proportion de fois où cette valeur apparaît dans la série statistique. Elle est calculée en divisant l'effectif de la valeur par l'effectif total. La fréquence peut être exprimée en valeur décimale ou en pourcentage.
Formule : Fréquence = Effectif total / Effectif de la valeur
La fréquence cumulée croissante d'une valeur est la somme des fréquences de cette valeur et de toutes les valeurs qui lui sont inférieures ou égales. Elle permet de connaître la proportion d'observations jusqu'à une certaine valeur.
Exemple avec les notes des élèves :
| Note (Valeur) | Effectif | Fréquence (Effectif/10) | Fréquence en % | Fréquence Cumulée Croissante |
| 8 | 1 | 0.1 | 10% | 0.1 |
| 9 | 1 | 0.1 | 10% | 0.2 |
| 10 | 1 | 0.1 | 10% | 0.3 |
| 12 | 3 | 0.3 | 30% | 0.6 |
| 14 | 1 | 0.1 | 10% | 0.7 |
| 15 | 2 | 0.2 | 20% | 0.9 |
| 18 | 1 | 0.1 | 10% | 1.0 |
| Total | 10 | 1.0 | 100% |
Exercice 7 :
Utilisez les données du sondage sur le nombre de livres lus par mois (Exercice 2) pour calculer les fréquences et les fréquences cumulées croissantes.
Solution Exercice 7 :
Effectif total : 20
| Nombre de livres (Valeur) | Effectif | Fréquence (Effectif/20) | Fréquence en % | Fréquence Cumulée Croissante |
| 0 | 3 | 0.15 | 15% | 0.15 |
| 1 | 4 | 0.20 | 20% | 0.35 |
| 2 | 6 | 0.30 | 30% | 0.65 |
| 3 | 4 | 0.20 | 20% | 0.85 |
| 4 | 2 | 0.10 | 10% | 0.95 |
| 5 | 1 | 0.05 | 5% | 1.00 |
| Total | 20 | 1.00 | 100% |
Comprendre les bases des statistiques, y compris la différence moyenne médiane, est essentiel dans de nombreux domaines, que ce soit à l'école, dans les études supérieures ou dans la vie professionnelle. Pour certains élèves, ces concepts peuvent sembler abstraits ou difficiles à appréhender. C'est là que le soutien scolaire à domicile peut jouer un rôle crucial. Un accompagnement personnalisé permet de revoir les notions fondamentales à son rythme, de poser toutes les questions nécessaires et de s'exercer de manière ciblée. Un tuteur peut adapter sa pédagogie aux difficultés spécifiques de l'élève, rendant les statistiques plus accessibles et même passionnantes. En démystifiant les chiffres, le soutien scolaire contribue à construire une base solide pour la réussite académique et à développer une pensée analytique indispensable dans le monde actuel.
La maîtrise des concepts statistiques de base — valeurs, effectifs, moyenne, médiane, étendue et fréquence — est une compétence précieuse dans notre société axée sur les données. La différence moyenne médiane est un exemple parfait de la subtilité nécessaire à l'interprétation des informations : choisir le bon indicateur peut changer radicalement la compréhension d'une situation. En vous familiarisant avec ces outils, vous développez une capacité à analyser, critiquer et interpréter les informations quantitatives, vous dotant ainsi d'un avantage significatif dans un monde où la prise de décision éclairée est reine. Les statistiques ne sont pas de simples chiffres ; elles sont le langage qui nous aide à comprendre et à naviguer dans la complexité du monde.
Chez Didasko, nous sommes spécialistes du soutien scolaire à Toulouse et sur sa région. Déclaré Service à la Personne, nous faisons bénéficier à nos clients du service d'Avance Immédiate.
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