Les identités remarquables sont un pilier fondamental des mathématiques et de l'algèbre, simplifiant grandement les calculs littéraux. Que vous soyez collégien, lycéen, ou simplement désireux de rafraîchir vos connaissances, maîtriser ces outils est un atout majeur. Cet article détaillé vous guidera à travers les concepts de développement et de factorisation, avec un accent particulier sur les identités remarquables, leurs démonstrations, et de nombreux exercices pour vous aider à progresser.
Avant de plonger dans le vif du sujet, faisons un bref rappel sur l'algèbre et le calcul littéral. L'algèbre est une branche des mathématiques qui utilise des lettres (appelées variables ou inconnues) pour représenter des nombres. Le calcul littéral consiste à effectuer des opérations (addition, soustraction, multiplication, division) avec ces expressions qui contiennent des lettres et des nombres.
Le but principal du calcul littéral est de manipuler des expressions pour les transformer d'une forme développée à une forme factorisée (et vice-versa), afin de résoudre des équations, simplifier des expressions ou prouver des propriétés.
En algèbre, une expression peut se présenter sous différentes formes :
Comprendre la différence entre ces deux formes est crucial. Passer de l'une à l'autre est l'objectif des opérations de développement et de factorisation.
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence). C'est l'opération inverse de la factorisation. Pour y parvenir, on utilise les propriétés de la distributivité.
La simple distributivité s'applique lorsque vous multipliez un nombre (ou une expression) par une somme ou une différence entre parenthèses. La règle est la suivante :
k × (a + b) = k × a + k × b ou k × (a − b) = k × a − k × b
En d'autres termes, le facteur k est "distribué" à chaque terme à l'intérieur de la parenthèse.
Exemple : Développons l'expression A = 3(x + 5)
A = 3 × x + 3 × 5
A = 3x + 15
Exemple : Développons l'expression B = −2 (4y − 7)
B = −2 × 4y − (−2) × 7
B = − 8y + 14
La double distributivité est utilisée lorsque vous multipliez deux parenthèses entre elles. Chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde parenthèse.
(a + b)(c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d
Exemple : Développons l'expression C = (x + 2)(x + 3)
C = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3
C = x² + 3x + 2x + 6
C = x² + 5x + 6
Exemple : Développons l'expression D = (2x −1)(3x + 4)
D = 2x × 3x + 2x × 4 − 1 × 3x − 1 × 4
D = 6x² + 8x − 3x − 4
D = 6x² + 5x − 4
Les identités remarquables sont trois formules de calcul littéral particulièrement utiles (au programme du Collège), car elles permettent de développer ou de factoriser des expressions plus rapidement qu'en utilisant la distributivité "manuelle". Ce sont en fait des cas spécifiques de double distributivité. Les connaître par cœur est un gain de temps considérable et une clé pour la réussite en algèbre.
Voici les trois identités remarquables à maîtriser :
Comprendre d'où viennent ces formules est essentiel. Voici les démonstrations utilisant la double distributivité :
(a + b)² signifie (a + b) × (a + b). Appliquons la double distributivité : (a + b) × (a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ba + b².
Puisque ab = ba (la multiplication est commutative), on peut regrouper les termes : = a² + 2ab + b²
C.Q.F.D. (Ce qu'il fallait démontrer)
(a − b)² signifie (a − b) × (a − b). Appliquons la double distributivité : (a − b) × (a − b) = a × a + a × (−b) + (−b) × a + (−b) × (−b) = a² − ab − ba + b².
Puisque ab = ba, on peut regrouper les termes : = a² − 2ab + b²
C.Q.F.D.
Appliquons la double distributivité : (a + b)(a − b) = a × a + a × (−b) + b × a + b × (−b) = a² −ab +ba −b².
Puisque −ab + ba = 0 (les termes s'annulent), il reste : = a² − b²
C.Q.F.D.
Maintenant que vous connaissez les formules, voyons comment les appliquer pour développer des expressions.
Développer (x+5)² :
Ici, a = x et b = 5. On utilise la formule (a+b)² =a² + 2ab + b².
(x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25
Développer (3y + 2)² :
Ici, a = 3y et b = 2.
(3y + 2)² = (3y)² + 2 × 3y × 2 + 2² = 9y² + 12y + 4
Développer (x − 4)² :
Ici, a = x et b = 4. On utilise la formule (a − b)² = a² − 2ab + b².
(x − 4)² = x² − 2 × x × 4 + 4² = x² − 8x + 16
Développer (5 − 2z)² :
Ici, a = 5 et b = 2z.
(5 − 2z)² = 5² − 2 × 5 × 2z + (2z)² = 25 − 20z + 4z²
Développer (x + 7)(x − 7) :
Ici, a = x et b = 7. On utilise la formule (a + b)(a − b) = a² − b².
(x + 7)(x − 7) = x² − 7² = x²−49
Développer (3t − 5)(3t + 5) :
Ici, a = 3t et b = 5.
(3t − 5)(3t + 5) = (3t)² − 5² = 9t² − 25
Factoriser une expression, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit. C'est souvent plus complexe que le développement car cela demande de "voir" des structures particulières. Il y a deux méthodes principales pour factoriser : chercher un facteur commun ou utiliser les identités remarquables.
Au-delà de la simplification d'expressions, la factorisation a une application majeure en algèbre : la résolution d'équations de produit nul. Une équation de produit nul est une équation où un produit de facteurs est égal à zéro. La propriété fondamentale est la suivante :
"Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul."
Autrement dit, si A × B = 0, alors A = 0 et / ou B = 0.
C'est là que la factorisation devient un outil puissant. Si vous avez une équation sous une forme développée, comme x² + 5x + 6 = 0, il est difficile de trouver les valeurs de x qui satisfont cette équation directement. Cependant, si vous parvenez à factoriser cette expression en (x + 2)(x + 3) = 0, alors la résolution devient simple :
Les solutions de l'équation sont donc x = −2 et x = −3. Factoriser une expression pour obtenir une équation de produit nul est une méthode incontournable pour résoudre de nombreuses équations du second degré et d'autres équations polynomiales. C'est l'une des raisons principales pour lesquelles la maîtrise de la factorisation est si importante en mathématiques.
La factorisation par un facteur commun est l'application inverse de la simple distributivité. Si une expression peut être écrite sous la forme k × a + k × b, alors on peut la factoriser en k(a + b).
Pour trouver un facteur commun, on cherche un terme (nombre, lettre ou expression entre parenthèses) qui est présent dans tous les termes de l'expression.
Exemple : Factoriser F = 5x + 10 :
On remarque que 5x = 5 × x et 10 = 5 × 2.
Le facteur commun est 5.
F = 5x + 10 = 5(x + 2)
Exemple : Factoriser G = 7y² − 21y :
On remarque que 7y² = 7y × y et 21y = 7y × 3.
Le facteur commun est 7y.
G = 7y² − 21y = 7y(y − 3)
Exemple avec une parenthèse comme facteur commun : Factoriser H = (x + 1)(x − 3) + 2(x + 1) :
Le facteur commun est (x + 1).
H = (x + 1)[(x − 3) + 2]
H = (x + 1)(x − 3 + 2)
H = (x + 1)(x − 1)
Factoriser à l'aide des identités remarquables revient à reconnaître les formes développées pour les transformer en leurs formes factorisées correspondantes. C'est l'inverse du développement.
Pour reconnaître cette forme, cherchez deux termes qui sont des carrés (a² et b²) et un troisième terme qui est le double produit de leurs racines carrées (2ab).
Exemple : Factoriser I = x² + 6x + 9
Exemple : Factoriser J = 4y² + 20y + 25
Similaire au cas précédent, mais le terme du milieu est négatif. Cherchez deux termes qui sont des carrés (a² et b²) et un troisième terme qui est le double produit négatif de leurs racines carrées (−2ab).
Exemple : Factoriser K = x² − 8x + 16
Exemple : Factoriser L = 9t² − 30t + 25
C'est la plus simple à identifier : il s'agit toujours d'une différence de deux carrés.
Exemple : Factoriser M = x² − 25
Exemple : Factoriser N = 49 − 16z²
Exemple avec des expressions plus complexes : Factoriser P=(2x+1)²−9 :
P = [(2x + 1) + 3][(2x + 1) − 3]
P = (2x + 1 + 3)(2x + 1 − 3)
P = (2x + 4)(2x − 2)
Maintenant, c'est à vous de jouer ! Prenez une feuille et un stylo et essayez de résoudre ces exercices.
Développer les expressions suivantes :
Factoriser les expressions suivantes :
Prenez le temps de faire les exercices avant de regarder les réponses !
La maîtrise des identités remarquables et du calcul littéral en général est essentielle pour la suite de votre parcours en mathématiques. Ces notions sont la base de l'algèbre et sont utilisées dans de nombreux domaines, des équations du second degré aux fonctions polynomiales.
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